Библиотека портала "Венец"

www.venec.com 

Оксана Панчук

Использование методов математической логики
для анализа художественной литературы

Один известный стихотворец в молодости посещал лекции великого математика Гаусса и весьма преуспевал. После же он полностью посвятил себя творчеству и оставил занятия. Когда Гаусса спросили, что тот думает о своем бывшем ученике, великий ученый сказал: "Он стал поэтом. Для математики у него не хватало воображения".

Из истории науки

(По другим источникам, эту фразу сказал другой великий математик – Гильберт. – прим. авт.)

Введение

Для понимания предмета обсуждения данной статьи от читателя не требуется глубокого знания математики. Элементарного владения приемами вычислений на уровне средней школы будет вполне достаточно. Дополнительно предполагается обладание естественным здравым смыслом и общей культурой логического рассуждения. Автор статьи придерживается убеждения, что любой человек от рождения имеет способности к абстрактному мышлению, в большей или меньшей степени, независимо от гуманитарного или естественнонаучного склада характера. Это убеждение и послужило отправной точкой для ее написания. Автор также не соблюдает должную математическую строгость в понятиях и определениях. Можно воспринимать данный трактат как шутку, а можно и как попытку найти новое знание на стыке двух традиционных систем мировосприятия, еще один способ приблизиться к Истине, которая всегда "где-то рядом".

1. Необходимые понятия и определения

Математическая логика занимается изучением формул.
Формула – корректное математическое выражение, составленное из чисел, переменных, знаков математических операций и скобок. Если в записи формулы присутствует знак равенства "=", то такая формула называется уравнением.
Пример формулы: a+b-c2+(x-zy)3-137 (1)
Пример уравнения: x2-2x+1=0 (2)
Особый раздел математической логики посвящен исследованию интерпретаций формул.
Интерпретация – совокупность произвольно выбранных численных значений, которые подставляются в формулу вместо переменных. Проинтерпретированная формула также носит название интерпретации.
В результате такой подстановки формульное выражение превращается в числовое, и его значение, следовательно, можно вычислить, произведя соответствующие математические операции, заявленные в формуле. В случае уравнений значением проинтерпретированной формулы будет не число, а логическая величина – "истина" либо "ложь". Значение "истина" соответствует ситуации, когда уравнение обращается в правильное равенство. Иначе значением формулы считается "ложь".
Интерпретация, в которой значение формулы истинно, называется примером. Интерпретация, в которой формула ложна, называется контрпримером. Совокупность интерпретаций, в которых значение формулы истинно, называется ее областью истинности. Интерпретация, в которой получают значение не все переменные из начального набора, называется частичной. При этом переменные, получившие значение, именуются связанными. Переменные, не имеющие значения в частичной интерпретации, называются свободными.
Пример интерпретации: в уравнении (2) положим x=1 (i).
После подстановки имеем 12-2*1+1=0. Вычисления дают правильное равенство 0=0. Следовательно, в интерпретации (i) уравнение (2) истинно. Она является примером уравнения.
Положим x=2 (ii).
После подстановки и вычислений имеем 1=0. В интерпретации (ii) уравнение (2) ложно. Она является контрпримером уравнения.
Частичной интерпретацией формулы (1) будет x=1, z=2. Формула (1) приобретает вид:
a+b-c2+(1-2y)3-137.
Переменные a, b, c, y – свободные.
Формулы, которые истинны в любой возможной интерпретации, называются тождествами математической логики.
Пример тождества математической логики: a+b=b+a (3)
Формула (3) представляет собой переместительный закон сложения. В развернутом виде он звучит так: "от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется". Дотошному читателю предлагается самостоятельно исследовать истинность (3) в качестве упражнения.
Совокупность всех возможных интерпретаций заданной формулы называется миром, порождаемым формулой.

2. Воображаемые миры как продукт порождения формул

Законы построения мира, реального или созданного воображением писателя, принято считать неформализуемыми, интуитивными. Однако попытки частичной формализации проводились, и проводились успешно. Например, открыт закон причинно-следственной связи между явлениями. В этом контексте будет уместным предположение о существовании для каждого такого мира исходной формулы, породившей его. Создатели воображаемых миров не указывают общий вид исходной формулы, а обычно предлагают некоторую ее интерпретацию, полную или частичную, чаще - частичную. Авторская интерпретация по определению является примером для исходной формулы.
Задача литературных критиков первого рода состоит в выяснении истинности самой формулы. Они сосредотачивают свои усилия на поисках контрпримеров. А поскольку общий вид формулы неизвестен, то вообще говоря неясно, как строить контрпример. Критики первого рода делают смелые допущения относительно формульного выражения и ищут контрпример для него. Если контрпример найден успешно, формула исходного мира считается опровергнутой, неистинной. Понятно, что этот подход зачастую ведет к отказу от первичного мира и замене его на мир второго порядка, построенный на "уточненной" формуле. Такой мир в свою очередь предлагается читателю в виде интерпретации, а не в общем виде. Это опять приводит к появлению критиков первого рода уже для нового мира. Как следствие, в литературе возникают миры третьего и высших порядков.
Критики второго рода не оспаривают истинность исходной формулы. Они стараются работать внутри области истинности или вообще полагают исходную формулу тождеством. Задачей такой критики является построение примеров, других интерпретаций исходной формулы. Создатели воображаемых миров, хоть и не указывают явно общий вид формулы, но как-то обозначают набор переменных, некоторые численные величины. Построить еще один пример исходной формулы гораздо легче: достаточно придать значение любой из свободных переменных или проварьировать значение связанной. Такой подход не выводит за пределы первичного мира.
Как следует из вышесказанного об истинности, исходные формулы воображаемых миров принадлежат к классу уравнений. Или, в случае нескольких литературных произведений одного автора, систем уравнений. В последующем вместо "уравнений или систем уравнений" будем употреблять "уравнений", чтобы упростить изложение. Для дальнейших рассуждений понадобится ввести примерную классификацию вымышленных миров. Ограничимся в ней семейством миров, порожденным "Властелином Колец".
уровень 0: BASE мир, в котором мы живем
уровень 1: JRRT мир, созданный Дж. Р. Р. Толкиеном
уровень 2: Н НП КЕ миры Ниэнны, Н. Перумова, К. Еськова
уровень 3: Т мир Тайэрэ
уровень 4: ?
?

3. Применение критики первого и второго рода к миру JRRT

Критика первого и второго рода практически не встречается в чистом виде. Все известные автору этой статьи примеры критики мира JRRT объединяют в себе элементы критик первого и второго рода с преобладанием в ту или иную сторону.
Ярким примером преобладания критики первого рода служит мир Н. К исходному уравнению JRRT применена операция инверсии: все знаки персонажей изменились на противоположные. Добавлены отношения родственности между некоторыми действующими лицами. Расширен список свободных переменных: появились новые герои и существа. Произведено смещение диапазона рассматриваемых значений переменной времени: периоды, которым в JRRT уделено особое внимание, пропущены или сжаты до предела, и наоборот, подробно освещены отрезки, не отмеченные в JRRT. Мир, порождаемый формулой Н, получился шире исходного. JRRT вложен в Н за исключением двух точек: гипотезы происхождения орков и майяр. Остальные кажущиеся расхождения возникают за счет свободных переменных JRRT, которые в Н стали связанными.
Едва появившись, уравнение Н тоже не избежало критики первого рода. Уточненное уравнение Н носит название Т и порождает мир третьего порядка по отношению к JRRT. Примечательно, что JRRT по-прежнему вложен в T, и гипотеза происхождения орков так же образует особую точку, не входящую в Т. У Т с JRRT есть разногласия по поводу существования драконов и похищения Сильмариллов. Однако наличие конечного числа точек несовпадения не нарушает вложенности. Мир Т имеет пересечение с Н. Вложенность в данном случае отсутствует.
Мир НП, очевидно, содержит в себе JRRT. Исходное уравнение расширено за счет экстраполяции переменной времени на относительное "будущее" и за счет введения дополнительных переменных.
Мир КЕ, как и Н, построен на основе инверсии JRRT и исключения из него операций "магического воздействия" при определенных значениях переменной времени. Из-за этого вложенность, наблюдаемая в предыдущих мирах, вырождается в пересечение. Мир КЕ больше тяготеет в сторону BASE, чем к исходному JRRT. Автор статьи поставил КЕ на уровень миров второго порядка. Однако не исключено, что КЕ на самом деле относится к мирам третьего порядка, если создатель КЕ прежде, чем заняться преобразованием уравнения JRRT, ознакомился со структурой уравнения мира Н.
Критика второго рода наблюдается в создании небольших рассказов или повестей, действие которых происходит в исходном мире. При этом получают значение неопределенные ранее переменные: уточняются мотивы поступков действующих лиц, детально прорисовываются события, вскользь упомянутые в исходном тексте. Следует заметить, что сама по себе операция инверсии еще не выводит за рамки исследуемого мира и вполне допустима. На этом принципе основано создание многочисленных пародий: низведение великого до смешного и превознесение обыденного.
Вообще говоря, произведения критики второго рода не обладают высокой познавательной ценностью, и представляют скорее художественный интерес. В качестве положительного примера действия критики второго рода можно привести работы писателей-реалистов. Их произведения основываются на уравнении мира BASE и практически никогда не покидают его пределов.
Подход критиков первого рода можно назвать революционным, так как он приводит к отказу от предыдущей формулы и принятию другой порождающей, и, как следствие, к новому миру. Подход критиков второго рода уместно называть адаптационным, так как он не нарушает исходной картины мира, а как бы адаптирует порождающую формулу к новой интерпретации. Тогда подход, объединяющий в себе критики первого и второго рода, следует назвать эволюционным, поскольку при этом исходный мир не изменяется одним скачком, а, постепенно адаптируясь, переходит в новый.
Миры семейства JRRT (Н, Т, НП, КЕ) в новой терминологии являются результатом эволюционного подхода. Причем в строительстве миров Н и Т отдано предпочтение неэквивалентным преобразованиям, методу критики первого рода, а миры НП и КЕ в основном построены эквивалентными преобразованиями исходного уравнения, методом критики второго рода.

Заключение

Прежде всего, автор хочет выразить благодарность читателю, добросовестно сопровождавшему его на протяжении статьи. Особенно, если читатель принадлежит к гуманитариям, и его не отпугнули математические абстракции. Автор приносит извинения читателю с фундаментальным знанием логики высказываний и исчисления предикатов за вольное обращение со строгими концепциями. Автор не претендует на звание основоположника математической критики. Как было отмечено во введении, все это есть лишь попытка приблизиться к Истине, которая "где-то рядом".
В качестве заключительного упражнения, читателю предлагается решить небольшую задачу, сформулированную в терминах этой статьи.
Задача: пусть "познать Истину" есть отыскать общий вид уравнения BASE. Тогда революционным подходом к критике BASE является религия, адаптационным – наука, а эволюционным?

Список литературы

1. Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд., М., 1973
2. Толкиен Дж.Р.Р. Властелин Колец. Хоббит. СПб.: Северо-Запад, 1992
3. Сильмариллион
4. Перумов Н. Кольцо Тьмы. СПб.: Терра-Азбука, 1997
5. Еськов К. Последний кольценосец. М.: АСТ, 1999
6. Васильева Н.Э. Черная Книга Арды. М.: ЭКСМО-Пресс, 2000
7. Реквием Тайэре и др.

Замечания к статье присылать по адресу электронной почты:
pancha@mail.sochi.ru или panox@mail.ru

Опубликовано с согласия автора.